Bukti Teorema Limit Pusat (Central Limit Theorem)

Halo semua! Karena sekarang hari Jumat, maka besok tidak kuliah. Karena besok tidak kuliah, maka saya gabut malam ini. Karena saya gabut malam ini, maka saya menulis blog ini agar terlihat dan merasa saya sedang produktif.

Oke enough bad jokes. Pada tulisan kali ini, saya akan membahas bukti teorema limit pusat yang merupakan teorema yang sangat fundamental di statistik. Berikut adalah pernyataan Teorema Limit Pusat :

Teorema. Jika $X_1,X_2,\cdots,X_n$ adalah sampel random yang mempunyai distribusi sama dengan mean $\mu$ dan variansi $\sigma^2$ , maka variabel random $Z_n = \dfrac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sqrt{n} \sigma}$ akan konvergen secara distribusi ke distribusi normal standar.

Akan kita sebutkan beberapa lemma yang akan kita gunakan terlebih dahulu.

Lemma 1 (lemma dari diktat kalkulus I UGM). Apabila $f(x)$ dan $g(x)$ adalah fungsi kontinu dan $c$ adalah bilangan real sehingga $\lim_{x \to c} f(x) = 0$ dan $\lim_{x \to c} g(x) = \infty$ , maka $\lim_{x \to c} (1+f(x))^{g(x)} = e^{\lim_{x \to c} f(x) g(x)}$ . Teorema juga berlaku untuk limit menuju tak hingga.

Lemma 2. Apabila $X_1,X_2$ adalah variabel random independen dengan MGF $M_{X_1}(t),M_{X_2}(t)$ , maka $M_{X_1}(t) \cdot M_{X_2}(t) = M_{X_1+X_2}(t)$ dan juga $M_{aX}(t) = M_x(at)$ . (Bukti lemma ini tidak sulit jadi akan saya buktikan)

Bukti lemma 2. Karena $X_1,X_2$ independen maka

$M_{X_1+X_2}(t) = E[e^{(X_1+X_2)t}] = E[e^{tX_1+tX_2}] = E[e^{tX_1}]E[e^{tX_2}] = M_{X_1}(t)M_{X_2}(t)$ .

$M_{aX}(t) = E[e^{t(aX)}] = E[e^{at(X)}] = M_{X}(at)$ .

Lemma pun terbukti.

Sebelum membuktikan teorema di atas, kita memerlukan sebuah lemma yang cukup intuitif namun buktinya sulit (sehingga tidak dibahas disini hehe) berikut ini :

Lemma 3. Apabila $Y_1,Y_2,\cdots,Y_n$ adalah barisan varibel random dengan Moment Generating Function $M_1(t), M_2(t), \cdots, M_n(t)$ berturut-turut. Apabila $\lim_{n \to \infty} M_n(t) = M(t)$ dan $M(t)$ merupakan MGF dari variabel random $Q$ maka $Y_n$ akan konvergen secara distribusi ke $Q$ .

Dari lemma 3, diperoleh ide pembuktian teorema limit pusat ini adalah dengan menyatakan Moment Generating Function dari $Z_n$ dalam $\mu, \sigma$ dan $n$ kemudian menentukan ke mana kah $Z_n$ konvergen seiring $n \to \infty$ . Oke kita siap membuktikan teorema limit pusat!

Misalkan $X_1,X_2,\cdots,X_n$ mempunyai distribusi yang sama dengan variabel random $X$ . Ingat kembali bahwa turunan ke $k$ dari MGF adalah moment dari variabel random tersebut disekitar mean sehingga $M_{X - \mu}(0) = E[(X-\mu)^0] = E[1] = 1$ dan $M'_{X - \mu}(0) = E[(X-\mu)^1] = E[X-\mu] = E[X] - \mu = \mu - \mu = 0$ dan $M''_{X-\mu}(0) = E[(X-\mu)^2] = \sigma^2$ . Berdasarkan teorema Taylor, untuk setiap $t > 0$ akan terdapat $h \in (0,t)$ sehingga

$M_{X-\mu}(t) = M_{X-\mu}(0) + M'_{X-\mu}(0)t + \frac{1}{2}M''_{X-\mu}(h)t^2 = 1 + \frac{1}{2}M''_{X-\mu}(h)t^2$

Selanjutnya, berdasarkan lemma 2, kita punya

$M_{Z_n}(t) = M_{\dfrac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sqrt{n} \sigma}}(t) = M_{\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)}(\frac{t}{\sqrt{n}\sigma})$

Indeks menjadi $\sum_{i = 1}^n (X_i - \mu)$ karena $\sum_{i = 1}^n (X_i - \mu) = \sum_{i = 1} X_i - n\mu$ .

Berdasarkan lemma 2 lagi, diperoleh

$M_{\sum_{i=1}^n (X_i - \mu)}(\frac{t}{\sqrt{n} \sigma}) = \prod_{i=1}^n M_{X_i-\mu} (\frac{t}{\sqrt{n} \sigma})$ .

Karena $X_i$ berdistribusi sama semua, maka $X_i-\mu$ juga berdistribusi sama untuk semua $i = 1,2,\cdots,n$ sehingga

$\prod_{i=1}^n M_{X_i-\mu}(\frac{t}{\sqrt{n} \sigma}) = (M_{X-\mu}(\frac{t}{\sqrt{n}\sigma}))^n$ .

Telah kita peroleh bahwa

$M_{X-\mu}(t) = 1 + \frac{1}{2}M''_{X-\mu}(h)t^2$ untuk suatu $h \in (0,t)$ sehingga

$M_{X-\mu}(\frac{t}{\sqrt{n}\sigma}) = 1 + \frac{1}{2n \sigma^2}M''_{X-\mu}(h)t^2$

untuk suatu $h \in (0,\frac{t}{\sqrt{n} \sigma})$ . Akibatnya,

$M_{Z_n}(t) = (M_{X-\mu}(\frac{t}{\sqrt{n}\sigma}))^n = (1 + \frac{1}{2n \sigma^2}M''_{X-\mu}(h)t^2)^n$ .

Eureka!! Kita sudah berhasil menyatakan MGF $Z_n$ dalam $n,\mu,\sigma$ . Selanjutnya, adalah menentukan konvergen ke fungsi apakah $M_{Z_n}(t)$ lalu menggunakan lemma 3. Ketika $n \to \infty$ maka akan terjadi beberapa hal berikut :

$\frac{t}{\sqrt{n}\sigma} \to 0$ sebab $t$ dan $n$ terbatas. Akibatnya, $h \to 0$ sehingga $M_{X-\mu}''(h) \to M_{X-\mu}''(0) = \sigma^2$ . Akibatnya, $M_{X-\mu}''(h) \to \sigma^2$ .
Akibatnya, dengan lemma dari diktat kalkulus UGM diperoleh $\lim_{n \to \infty} M_{Z_n}(t) = (1 + \frac{1}{2n \sigma^2}M''_{X-\mu}(h)t^2)^n = e^{\lim_{n \to \infty} n \cdot \frac{1}{2n \sigma^2}M''_{X-\mu}(h)t^2} = e^{\frac{1}{2}t^2}$ .

Sehingga, $M_{Z_n}$ konvergen ke MGF distribusi normal standar yang mengakibatkan $Z_n$ konvergen ke distribusi normal standar berdasarkan lemma 3. Terbukti hooray!

*Menyunting tulisan dari buku Introduction to Probability and Mathematical Statistics oleh Lee J. Bain dan Max Engelhardt.

Bukti Teorema Limit Pusat (Central Limit Theorem)

Published by rickyising98

One thought on “Bukti Teorema Limit Pusat (Central Limit Theorem)”

Leave a comment Cancel reply

Share this:

Related

Published by rickyising98

One thought on “Bukti Teorema Limit Pusat (Central Limit Theorem)”

Leave a comment Cancel reply